Aujourd'hui

1. Finir la feuille de TD sur les écoulements compressibles (2 exercices)

Évaluations

03/11 – évaluation sur la partie aérodynamique du cours

À la maison – évaluation sur la partie compressible

• 06/11 à 20H : envoi des sujets

• 07/11 à 20H : retour des copies

SI = Système International

CGS = Centimètre – Gramme – Seconde

Utilisé en chimie

1. Force = dyne

2. Énergie = erg

MKS = Mètre – Kilogramme – Seconde

Utilisé en physique et en ingénierie

1. Force = Newton

2. Énergie = Joule

Exercice 4

Isentropique = pas de choc, pas de viscosité (donc pas de pertes de charge, ni singulière ou ni régulière)

1. Calculer la température du fluide dans la section de col.

D'après l'énoncé, l'écoulement passe du régime subsonique au régime supersonique dans la tuyère. On sait de plus que les conditions critiques ($M_{\ast }=1$) sont atteintes au col. Étant donnée la relation de Saint Venant,

$$\frac{T_i}{T}=1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2.$$

En particulier, la température au col (qui correspond à la température critique, puisque le col est amorcé c'est à dire que le nombre de Mach y vaut $1$) s'obtient en utilisant $M=1$ :

$$\frac{T_i}{T_{\ast }}=1+\frac{\gamma -1}{2}\times 1^2=\frac{2+\gamma -1}{2}=\frac{1+\gamma }{2}.$$

Quelle est la valeur de la température d'arrêt ($T_i$) ? C'est en fait la température du réservoir ($300\mathrm{K}$) puisque l'écoulement y est au repos (donc $M=0$). On trouve donc

$$T_{\ast }=\frac{2T_i}{\gamma +1}=250\mathrm{K}.$$

2. Calculer la vitesse de l'écoulement au col.

On sait que le nombre de Mach vaut $M_{\ast }=1$ au col. Or,

$$M=\frac{v}{c}$$

avec (pour un gaz parfait)

$$c^2=\gamma rT$$

($r=R/M$ est une constante qui dépend du gaz). On en déduit

$$\begin{array}{rl}{v}_{\ast }& =M_{\ast }{c}_{\ast },\\ & =1\times \sqrt{\gamma r{T}_{\ast }}.\end{array}$$

Application numérique : $v_{\ast }=317\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

3. Calculer le débit massique correspondant.

Le débit dans une section $A$ de la tuyère est :

$$\dot{m}=\rho Av.$$

Or au col, on connait

$$\{\begin{array}{rl}A& =A_{\ast },\\ v& =v_{\ast }\end{array}$$

et il ne reste donc qu'à calculer ${\rho }_{\ast }$.

Or la relation de Saint Venant pour la masse volumique s'écrit :

$$\frac{{\rho }_i}{\rho }={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2)}^{1/(\gamma -1)}.$$

Or ${\rho }_i$ est celle dans le réservoir en amont de la tuyère, où on connait la température et la pression. Il suffit donc d'appliquer l'équation d'état du gaz parfait pour calculer

$$\begin{array}{rl}{\rho }_i& =\frac{P_i}{r{T}_i},\\ & =\frac{{10}^6}{287\times 300},\\ & =11.6\mathrm{k}\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3}.\end{array}$$

Or,

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{\ast }& ={\left(\frac{1+\gamma }{2}\right)}^{-1/(\gamma -1)}{\rho }_i,\\ & =7.36\mathrm{k}\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3}.\end{array}$$

On en déduit que

$$\begin{array}{rl}{m}_{\ast }& =m(M=1)={\rho }_{\ast }{A}_{\ast }{v}_{\ast },\\ & =1.76\mathrm{k}\mathrm{g}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

4. Trouver les valeurs de la vitesse et de la masse volumique en sortie du divergent.

On commence par la vitesse : en sortie, on connait $M_s=2$. Or l'écoulement est isentropique, donc les grandeurs d'arrêt (notamment, la température d'arrêt) sont constantes.

En sortie, la relation de Saint Venant s'écrit

$$\frac{T_i}{T_s}=1+\frac{\gamma -1}{2}{M}_s^2$$

soit

$$\begin{array}{rl}{T}_s& ={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}_s^2)}^{-1}{T}_i,\\ & =167\mathrm{K}.\end{array}$$

La célérité du son en sortie vaut donc

$$c_s=\sqrt{\gamma r{T}_s}=259\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

On trouve enfin

$$v_s=M_s{c}_s=518\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

On utilise la relation de Saint Venant pour la masse volumique :

$$\frac{{\rho }_i}{{\rho }_s}={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}_s^2)}^{1/(\gamma -1)}$$

d'où

$$\begin{array}{rl}{\rho }_s& ={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}_s^2)}^{-1/(\gamma -1)}{\rho }_i,\\ & =2.67\mathrm{k}\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3}.\end{array}$$

5. En déduire l'aire de la section de sortie.

On sait que le débit massique est conservé :

$$\dot{m}=\rho Av=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}={\dot{m}}_{\ast }.$$

Il suffit d'évaluer $\dot{m}$ à la section de sortie

$$m_s={\rho }_s{A}_s{v}_s=m_{\ast }.$$

On isole $A_s$ :

$$\begin{array}{rl}{A}_s& =\frac{m_{\ast }}{{\rho }_s{v}_s},\\ & =1270{\mathrm{m}\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

6. Calculer enfin la pression et la température de l'écoulement en sortie.

La relation de Saint Venant pour la température s'écrit :

$$\frac{T_i}{T_s}=1+\frac{\gamma -1}{2}{M}_s^2,$$

donc

$$\begin{array}{rl}{T}_s& ={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}_s^2)}^{-1}{T}_i,\\ & =167\mathrm{K}.\end{array}$$

La relation de Saint Venant pour la pression s'écrit

$$\frac{P_i}{P}={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2)}^{\gamma /(\gamma -1)}$$

soit encore

$$P={(1+\frac{\gamma -1}{2}{M}^2)}^{-\gamma /(\gamma -1)}{P}_i.$$

En appliquant cette formule en sortie ($P=P_s$ et $M=M_s=2$), on trouve

$$P_s=1.27\times {10}^5\mathrm{P}\mathrm{a}.$$

Pour rétablir les conditions subsoniques de l'atmosphère, un choc droit peut se former à la sortie du divergent.