Exercice 1

Soit le problème de Cauchy suivant :

\[\forall t > 0, \quad y' \left ( t \right ) = t + y \left ( t \right )\]

avec la condition initiale

\[y \left ( 0 \right ) = 1.\]

1. Trouver la solution exacte de ce problème.
2. Appliquer la méthode explicite d’Euler à ce problème, avec \(\tau = 0.1\) puis évaluer la solution en \(t = 0.3\). Comparer à la solution exacte.

Exercice 2

Soit le problème de Cauchy suivant :

\[\forall t > 0, \quad y' \left ( t \right ) = 2t - y \left ( t \right )\]

avec la condition initiale

\[y \left ( 0 \right ) = 1.\]

1. Trouver la solution exacte de ce problème.
2. Appliquer le schéma implicite d’Euler à ce problème, avec \(\tau = 0.1\) puis évaluer la solution en \(t = 0.3\). Comparer à la solution exacte.
3. Quelle difficulté rencontre t’on avec ce schéma pour l’équation suivante

\[\forall t > 0, \quad y' \left ( t \right ) = 2t - y \left ( t \right ) ^ 2 \quad ?\]

Exercice 3

Soit l’équation différentielle ordinaire

\[\forall t > 0, \quad y''' \left ( t \right ) - y'' \left ( t \right ) + 2 y' \left ( t \right ) - y \left ( t \right ) + 2 = 0\]

où la solution est soumise aux conditions initiales

\[\left \{ \begin{aligned} y \left ( 0 \right ) & = 0, \\ y' \left ( 0 \right ) & = 1, \\ y'' \left ( 0 \right ) & = 2. \end{aligned} \right .\]

1. Transformer cette équation en un système d’équations différentielles ordinaires d’ordre \(1\).

2. Modifier la fonction julia suivante (qui correspond au système du pendule simple avec une pulsation unitaire) en fonction de la réponse à la question précédente :

   rhs(t, y1, y2) = (y2, -sin(y1))