Deux méthodes explicites de Runge-Kutta
On a introduit en cours la famille de schéma de Runge-Kutta, qui s’écrivent sous la forme (\(s > 0\)) :
\[y _ {n + 1} = y_n + \tau \sum_{i = 1} ^ s b_i k_i,\]
où
\[\forall i = 1, 2\cdots, s, \quad k_i = f \left ( t_n + c_i \tau, y _ n + \tau \sum_{j = 1} ^ s a_{ij} k_j \right ).\]
- Expliciter la formule de mise à jour (et les variables intermédiaires \(k_1\) et \(k_2\)) correspondant aux coefficients suivants
\[A_2 = \left ( \begin{matrix}
0 & 0 \\
1 / 2 & 0
\end{matrix} \right ), \quad b_2 = \left ( \begin{matrix}
0 \\
1
\end{matrix} \right )
\quad \mathrm{et}
\quad c_2 = \left ( \begin{matrix}
0 \\
1 / 2
\end{matrix} \right ).\]
- Expliciter la formule de mise à jour (et les variables intermédiaires \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) et \(k_4\)) correspondant aux coefficients suivants
\[A_4 = \left ( \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 / 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 / 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{matrix} \right ), \quad b_4 = \left ( \begin{matrix}
1 / 6 \\
1 / 3 \\
1 / 3 \\
1 / 6
\end{matrix} \right )
\quad \mathrm{et}
\quad c_4 = \left ( \begin{matrix}
0 \\
1 / 2 \\
1 / 2 \\
1
\end{matrix} \right ).\]
Le problème de Blasius
Le problème de Blasius décrit l’écoulement stationnaire et incompressible en 2 dimensions dans la couche limite se formant sur une plaque plane semi-infinie parallèle à l’écoulement.
Il s’écrit sous la forme d’un problème aux limites :
\[u''' \left ( x \right ) + u \left ( x \right ) u'' \left ( x \right ) = 0\]
où la variable dépendante \(u\) vérifie les conditions aux limites
\[\left \{ \begin{aligned}
u \left ( 0 \right ) & = 0, \\
u' \left ( 0 \right ) & = 0, \\
u' \left ( \infty \right ) & = 1.
\end{aligned} \right .\]
- Quel est le degré de cette EDO ? La réécrire sous la forme d’un système d’EDO d’ordre 1.
- Montrer que l’équation de Blasius et les conditions en \(0\) sont inchangées par la transformation (\(c \ne 0\))
\[\begin{aligned}
\overline{u} & \leftarrow c u, \\
\overline{x} & \leftarrow x / c.
\end{aligned}\]
\(\overline{u}\) est donc soumis à la même équation que \(u\), à l’exception de la condition en \(\infty\) qui est remplacée par :
\[\overline{u}'' \left ( 0 \right ) = 1.\]
On définit alors
\[\alpha = \overline{u}' \left ( \infty \right ).\]
- Montrer que le choix de la constante \(c = \sqrt{\alpha}\) mène à
\[u' \left ( \infty \right ) = 1.\]